零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾gulingfei◆cc
焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？
这场数学危机，直到19世纪，柯西详细而有系统的发展了极限理论gulingfei◆cc柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾gulingfei◆cc无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，从而第二次数学危机才基本解决gulingfei◆cc
第三次数学危机，则是出现在19世纪末，当时不列颠数学家罗素把集合分成两种gulingfei◆cc但是推敲的时候，形成了罗素悖论：s由一切不是自身元素的集合所组成，那s属于s吗？
用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我永远撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话gulingfei◆cc罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，轻松摧毁集合理论！
为了解决这场数学危机，数学家们积极寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论gulingfei◆cc首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统gulingfei◆cc即所谓zf公理系统，直到此时，这场数学危机到此才缓和下来gulingfei◆cc
而如果标准猜想被证否，将会引起第四次数学危机，很多以前被认为是对的理论，都将被面临着推倒重建gulingfei◆cc
当然，从历史的发展来看，出现数学危机并非一定坏事gulingfei◆cc因为在解决危机的过程中，本身会诞生一系列伟大的数学成果，而这本身就是数学发展的动力所在gulingfei◆cc